Question

16、如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠BCD=60°，△PAB為正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD、CP的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）求證：平面BEF⊥平面ABCD；
（3）問(wèn)：在BE上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面PAB，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)M，連接PM、DM，由已知中四邊形ABCD為菱形，∠BCD=60°，△PAB為正三角形，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得到DM⊥AB，PM⊥AB，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理，即可得到AB⊥PD；
（2）由已知中點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD、CP的中點(diǎn)，結(jié)合（1）的結(jié)論及正三角形的，我們易得AB⊥BE，AB⊥EF，由線(xiàn)面垂直的判定得到可得AB⊥平面BEF，再由面面垂直的判定定理即可得到平面BEF⊥平面ABCD；
（3）取BE，BC的中點(diǎn)分別為G，H，連接FG，GH，由三角形中位線(xiàn)定理，可證GH∥AB，再由線(xiàn)面平行的判定定理得GH∥平面PAB，同理可證FH∥平面PAB，再結(jié)合面面平行的判定定理，可得平面FGH∥平面PAB，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到FG∥平面PAB，最終得到結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠BAD=∠BCD=60°，AB=AD，∴△ABD為正三角形．
取AB的中點(diǎn)M，連接PM、DM，則DM⊥AB…（2分）
∵△PAB為正三角形，∴PM⊥AB．又∵PM∩DM=M，PM，DM?平面PMD，∴AB⊥平面PMD，…（4分）
∵PD?平面PMD∴AB⊥PD…（5分）
（2）∵E，F(xiàn)是CD，CP的中點(diǎn)，∴EF∥PD由（1）知AB⊥PD，∴AB⊥EF…..（6分）
∵△BCD為正三角形，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥BE…..（7分）
∵EF∩BE=E，EF，BE?平面BEF，∴AB⊥平面BEF，…（8分）
又∵AB?平面ABCD，∴平面BEF⊥平面ABCD…（9分）
（3）存在點(diǎn)G，使得FG∥平面PAB…..（10分）
證明：取BE，BC的中點(diǎn)分別為G，H，連接FG，GH，則GH∥CD．
∵CD∥AB，∴GH∥AB，
∵AB?平面PAB，GH?平面PAB，∴GH∥平面PAB…．（12分）
∵F，H別是PC，BC的中點(diǎn)，同理可證：FH∥平面PAB
∵GH∩FH=H，∴平面FGH∥平面PAB，…（13分）
又∵FG?平面FGH，∴FG∥平面PAB…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)是平面與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間平行（垂直）的判定定理，性質(zhì)定理、定義、幾何特征及相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．