Question

（不等式選講選做題）x、y＞0，x+y=1，則(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先將式子展開，利用完全平方公式將x²+y²用（x+y）²表示，將x+y用1代替；令xy=t；將函數轉化為只含t的函數；利用基本不等式求出t的范圍；利用函數的單調性求出最小值．

解答：解：(x+

1

x

)(y+

1

y

)=xy+

x

y

+

y

x

+

1

xy

=

x2y2+x2+y2+1

xy

=

x2y2+(x+y)2-2xy+1

xy

=xy+

2

xy

-2
∵x+y=1
∴xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

令xy=t則0＜t≤

1

4

∴(x+

1

x

)(y+

1

y

)=t+

2

t

-2
∵t+

2

t

-2在(0，

1

，4

]遞減
當t=

1

4

最小為

25

4

故答案為

25

4

點評：本題考查換元的數學思想方法：注意新變量的范圍、考查利用基本不等式求代數式的范圍、考查利用函數單調性求函數的最值．