Question

已知函數(shù)f(x)=

4

3

x3+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（x））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f'（x）-ax-4，若對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率與直線2x-y+1=0的斜率相等，從而求出a的值；
（II）先求出函數(shù)g（x）的解析式，令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，因為對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立，然后建立不等關系，解之即可求出x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x²+a，
f'（1）=4+a=2，
所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x²-ax+a-4，
令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，
因為對一切|a|≤1，
都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．
所以

φ(-1)＜0 φ(1)＜0

即

4x2-x-3＜0 4x2+x-5＜0

解得-

3

4

＜x＜1．
則當x∈(-

3

4

，1)時，對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．