Question

試求棱長為4a的正八面體二面角的大小及其兩條異面棱間的距離．

Answer 1

【答案】分析：設正八面體的棱長為4a，以中心O為原點，對角線DB、AC、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），設E為BC的中點，連接PE、QE、OE，則∠PEQ=2∠PEO即為所求二面角的平面角；設n=（x，y，z）是AB與PC的公垂線的一個方向向量，則有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影長d==即為所求．
解答：解：如圖，設正八面體的棱長為4a，以中心O為原點，
對角線DB、AC、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、
P（0，0，2a），設E為BC的中點，連接PE、QE、OE，
則∠PEQ=2∠PEO即為所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，
∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan．
設n=（x，y，z）是AB與PC的公垂線的一個方向向量，
則有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），
所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影長d==即為所求．
點評：本小題主要考查正八面體、棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．