Question

（2009•錦州一模）已知函數f（x）=alnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數．
（1）試確定a，b的值；  
（2）討論函數f（x）的單調區間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≤-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=1處取得極值-3-c，可得

f(1)=-3-c f′(1)=0

，解出即可；
（2）利用f'（x）＞0，此時f（x）為增函數；f'（x）＜0，此時f（x）為減函數．即可求得其單調區間．
（3）要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需[f(x)]max≤-2c2≤-2c²．利用（2）即可得出函數f（x）的最大值．

解答：解：（1）由題意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，從而b=-3．
又f′(x)=

a

x

+4bx3．
由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′(x)=

12

x

-12x3=

12(1-x4)

x

（x＞0），
令f'（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）為增函數；
當x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）為減函數．
因此f（x）的單調遞增區間為（0，1），而f（x）的單調遞減區間為（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1處取得極大值f（1）=-3-c，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c²．
即2c²-c-3≤0，從而（2c-3）（c+1）≤0，
解得-1≤c≤

3

2

．
所以c的取值范圍為[-1，

3

2

]．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值、最值等性質，要注意分離參數法、轉化法的運用．