Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2}{3}$，b=$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，A、B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的點，求證：以PF₂為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切；
（3）過左焦點F₁作互相垂直的弦MN與GH，判斷MN的中點與GH的中點所在直線l是否過x軸上的定點，如果是，求出定點坐標，如果不是，說出理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，即b=$\sqrt{5}$，即可求得a，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）由O為F₁F₂中點，Q為PF₂中點，OQ∥PF₁，OQ=$\frac{1}{2}$PF₁，則OQ=a-$\frac{1}{2}$PF₂，即可證明圓O與圓Q相切；
（3）分類當直線MN、GH與坐標軸不垂直時，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式即可求得MN中點S，GH中點T，直線的兩點式，整理即可求得x₀；當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時，中點分別為F₁、O，顯然F₁O所在直線為y=0，也過（-$\frac{9}{7}$，0）．

解答 解：（1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
由b=$\sqrt{5}$，解得：a²=9，
橢圓標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；…（3分）
（2）證明：由（1）知c=2，F₁（-2，0），F₂（2，0），
連結PF₁，設PF₂中點Q
∵O為F₁F₂中點，Q為PF₂中點
∴OQ∥PF₁，OQ=$\frac{1}{2}$PF₁…（5分）
∴OQ=$\frac{1}{2}$PF₁=$\frac{1}{2}$（2a-PF₂）=a-$\frac{1}{2}$PF₂，
∴圓O與圓Q相切（內切）．…（8分）
（3）1°當直線MN、GH與坐標軸不垂直時，
設MN方程為x=my-2，m∈R，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得（5m²+9）y²-20my-25=0…（10分）
∴y₁+y₂=$\frac{20m}{5{m}^{2}+9}$，則x₁+x₂=$\frac{-36}{5{m}^{2}+9}$，
∴MN中點S（$\frac{-36}{5{m}^{2}+9}$，$\frac{20m}{5{m}^{2}+9}$）…（12分）
用-$\frac{1}{m}$代S點坐標中的m，可得
GH中點T（$\frac{-18{m}^{2}}{5+9{m}^{2}}$，$\frac{-10m}{5+9{m}^{2}}$）…（13分）
設過x軸上的定點為（x₀，0）
∴$\frac{\frac{10m}{5{m}^{2}+9}}{\frac{-18}{5{m}^{2}+9}-{x}_{0}}$=$\frac{\frac{-10m}{5+9{m}^{2}}}{\frac{-18{m}^{2}}{5+9{m}^{2}}-{x}_{0}}$，
化簡得（14x²+18）m²+14x₀+18=0，
∵m∈R，
∴14x₀+18=0，即x₀=-$\frac{9}{7}$，
∴過定點（-$\frac{9}{7}$，0）．…（15分）
2°當直線MN、GH分別與坐標軸垂直時，中點分別為F₁、O，
顯然F₁O所在直線為y=0，也過（-$\frac{9}{7}$，0），
綜上，直線l過定點（-$\frac{9}{7}$，0）．…（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，一元二次方程的根與系數的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．