Question

甲、乙、丙三名射擊選手，各射擊一次，擊中目標的概率如下表所示（0＜p＜1）：

選手	甲	乙	丙
概率	1 2	p	P

若三人各射擊一次，恰有k名選手擊中目標的概率記為P_k=P（X=k），k=0，1，2，3．
（1）求X的分布列；（2）若擊中目標人數的均值是2，求P的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中甲射中的概率為

1

2

，則甲未射中的概率為

1

2

，乙和丙射中的概率為p，乙和丙未射中的概率為（1-p），我們易根據恰有k名選手擊中目標的概率記為P_k=P（X=k），計算出P₀，P₁，P₂，P₃的值，進而得到X的分布列；
（2）根據（1）中的X有分布列，我們可以求出離散型變量X的數學期望（含參數p），根據擊中目標人數的均值是2，我們可以構造關于參數p的方程，解方程即可求出P的值．

解答：解：（1）由題意得：
P₀=

1

2

•(1-p)2；
P₁=

1

2

•(1-p)2+

1

2

•p•(1-p) +

1

2

•p•(1-p) =-

1

2

p2+

1

2

，
P₂=

1

2

•p•(1-p) +

1

2

•p•(1-p) +

1

2

p2=-

1

2

p2+p，
P₃=

1

2

p2，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
p	1 2 •(1-p)2	- 1 2 p2+ 1 2	- 1 2 p2+p	1 2 p2

…（8分）
（2）EX=0×

1

2

•(1-p)2+1×-

1

2

p2+

1

2

+2×-

1

2

p2+p+3×

1

2

p2=2p+

1

2

，
∴2p+

1

2

=2，
∴p=

3

4

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，離散型隨機變量及其分布列和數學期望，（1）中的關鍵是根據分步乘法原理分別求出P₀，P₁，P₂，P₃的值，（2）的關鍵是根據已知條件構造關于參數p的方程．