Question

設n為正整數，規定：，已知，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）設集合A={0，1，2}，對任意x∈A，證明：f₃（x）=x；
（3）求的值；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，證明：B中至少包含8個元素．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論解出即可；
（2）利用分段函數的意義得出函數值即可；
（3）利用已知得出其周期即可；
（4）利用（2）（3）即可找出幾何B中至少含有8個元素．
解答：解：（1）①當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x，得，∴．
②當1＜x≤2時，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集為．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴當x=0時，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
當x=1時，f₃（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
當x=2時，f₃（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．  
（3），，
，，
一般地，，（k，r∈N^*），
∴． 
（4）由（1）知，，∴，則，．
由（2）知，對x=0或x=1或x=2恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，則0，1，2∈B．
由（3）知，對，恒有f₁₂（x）=f_4×3（x）=x，
∴．
綜上所述：，
∴B中至少包含8個元素．
點評：熟練掌握分類討論思想方法、分段函數的意義、函數的周期性等是解題的關鍵．