Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(m，cos2x)，

b

=(1+sin2x，1)，x∈R，且y=f（x）的圖象經(jīng)過點(

π

4

，2)．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x值的集合．
（Ⅲ）f（x）的圖象可由g（x）=1+

2

sin2x如何變換得到？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，，然后代入f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，可求m
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（Ⅲ）把g（x）的圖象向左平移

π

8

，即可得f（x）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）═

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，…（4分）
∴當sin(2x+

π

4

)=-1時，f（x）的最小值為1-

2

，…（6分）
由sin(2x+

π

4

)=-1，得x值的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}…（8分）
（Ⅲ）∵f（x）=1=

2

sin（2x+

π

4

）=1+

2

sin2（x+

π

8

）
把g（x）的圖象向左平移

π

8

，即可得f（x）的圖象．…（10分）
注：若f（x）是用余弦表示，正確的同樣給分．

點評：本題以向量的數(shù)量積的坐標表示為載體，主要考查了三角輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)最值的求解及取得最值條件的應(yīng)用、函數(shù)圖象平移法則的應(yīng)用．