Question

例2．若直角三角形的內切圓半徑為1，求其面積的最小值．

Answer 1

分析：根據直角三角形內切圓的半徑為1設，三邊長為1+x，1+y，x+y，利用勾股定理求得x和y的關系式，根據均值不等式可求得xy的范圍，進而利用面積公式求得三角形面積的表達式，進而根據xy的范圍求得三角形面積的最小值．

解答：解：設三邊長為1+x，1+y，x+y，
則（x+y）²=（1+x）²+（1+y）²，
x+y+1=xy
∵x+y≥2

xy

∴xy≥2

xy

+1
∴xy≥3+2

2

（當且僅當x=y時等號成立）
∵面積S=

1

2

（1+x）（1+y）=（x+y+xy+1）•

1

2

=xy≥3+2

2

點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，要熟練記憶基本不等式及其變形．