Question

如圖，順達架校擬在長為400m的道路OP的一側修建一條訓練道路，訓練道路的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx（A＞0，ω＞0），x∈[0，200]的圖象，且圖象的最高點為，訓練道路的后一部分為折線段MNP，為保證訓練安全，限定∠MNP=120°．
（I）求曲線段OSM對應函數的解析式；
（II）應如何設計，才能使折線段訓練道路MNP最長？最長為多少？

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，最高點S（150，100），故A=100，由 •=150 求得ω，即可得到函數的解析式．
（II）當x=200時，y=150，故MP=250，設MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得=250²=（m+n）²-mn．由于 mn≤，當且僅當m=n時，取等號，可得0＜m+n≤，從而求得 m+n的最大值．
解答：解：（I）由題意可得，最高點S（150，100），故A=100，•=150，ω=．
故函數的解析式為 y=100sin （0≤x≤200）．
（II）當x=200時，y=150，故MP==250，設MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得
MP²=250²=MN²+NP²-2MN•NP•cos120°=m²+n²+mn=（m+n）²-mn．
由于 mn≤，當且僅當m=n時，取等號，∴250²=（m+n）²-mn≥（m+n）²-，
故有 0＜m+n≤，即將折線段中MN與NP的長度設計為相等時，折線段訓練道路MNP最長，
且最長為  米．
點評：本題主要考查解三角形的實際應用，余弦定理，以及基本不等式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于難題．