Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）定義在R上的奇函數，且x=-1時，函數取極值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立，求s的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的解析式，只需找到關于a，b，c的三個等式，求出a，b，c的值，根據函數的奇偶性可得到一個含a，b，c的等式，根據x=-1時，取得極值1，可知函數在x=-1時，導數等于0，且x=-1時，函數值等于1，又可得到兩個含a，b，c的等式，三個等式聯立，解出a，b，c即可．
（2）利用導數得到函數為減函數f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，從而得出f（x）的最大最小值，從而求出當|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立時s的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依題意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即

3a+c=0 -a-c=1

，解得，a=

1

2

，c=-

3

2

∴f（x）=

1

2

x³+-

3

2

x
（2）f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
x∈（-1，1）時f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是減函數，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
則|f（x）|≤1，⇒f_max（x）=1，f_min（x）=-1，
當x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max|+|f（x）_min|≤1+1=2
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤s中s的最小值為2，
∴s的最小值2．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及絕對值不等式的性質．屬于中檔題．