Question

設x，y滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目標函數z=

1

a

x+

1

b

y(a＞0，b＞0)的最大值為2，則a+b的最小值為（　　）

• A．

  9

  2

• B．

  1

  4

• C．

  2

  9

• D．4

Answer 1

分析：畫出滿足約束條件的可行域，再根據目標函數的最大值為2，求出a，b的關系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答：解：滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的區域是一個四邊形，
如圖，4個頂點是（0，0），（0，2），（

1

2

，0），（1，4），
由圖易得目標函數在（1，4）取最大值2，即

1

a

+

4

b

=2，
∴a+b=

1

2

（a+b）（

1

a

+

4

b

）=

1

2

（5+

b

a

+

4a

b

）
∵a＞0，b＞0，∴

b

a

+

4a

b

≥2

b a • 4a b

=4
當且僅當

b

a

=

4a

b

時，

b

a

+

4a

b

的最小值問4
∴a+b的最小值為

9

2

故選A．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．