Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點，點D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求證：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明EF∥平面ABC，證明EF∥BC即可；
（2）要證明平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C，通過證明A₁D⊥面BB₁C₁C即可，利用平面與平面垂直的判定定理證明即可．
解答：證明：（1）因為E，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點，
所以EF∥BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以BB₁⊥面A₁B₁C₁，BB₁⊥A₁D，
又A₁D⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以A₁D⊥面BB₁C₁C，又A₁D?面A₁FD，所以平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．
點評：本題考查直線與平面平行和垂直的判斷，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．