Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+2-m=0
（1）求證：不論m取何實數，直線與圓總有兩個不同的交點；
（2）求弦AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線方程可判斷，直線恒過：（1，2）點，代入圓的方程后，可判斷（1，2）點在圓內，則直線與圓一定相交，進而判斷出直線與圓的交點個數，得到結論．
（2）設出M點的坐標，由垂徑定理，可得CM與AB垂直，即CM與PM垂直，根據向量垂直，數量積為0，可以構造x，y的關系式，即可得到弦AB中點M的軌跡方程．
解答：解：（1）直線l：mx-y+2-m=0即m（x-1）-（y-2）=0
過定點P（1，2），且1²+（2-1）²＜5，點P在圓C內，
故直線l與圓C必有兩個交點．（4分）
（2）設M（x，y），則有CM⊥AB，
∴，（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，
即∴x²+y²-x-3y+2=0，即為點M的軌跡方程．（8分）
點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，軌跡方程，其中（1）的關鍵是根據直線方程判斷出直線恒過（1，2）點，而（2）的關鍵是根據垂徑定理得到．