Question

平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n²－n＋2個部分．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當(dāng)n＝k＋1時比n＝k時，分點增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，本題中第k＋1個圓被原來的k個圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在部分分了成兩部分，此時共增加了2k個部分，問題就得到了解決． 　　證明　　(1)當(dāng)n＝1時，一個圓把平面分成兩部分，12－1＋2＝2，命題成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立(k∈N*)，k個圓把平面分成k2－k＋2個部． 　　當(dāng)n＝k＋1時，這k＋1個圓中的k個圓把平面分成了k2－k＋2個部分，第k＋1個圓被前k個圓分成2k條弧，每條弧把它所在的部分分成了兩部分，這時共增加了2k個部分，即k＋1個圓把平面分成： 　　(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個部分，即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 　　由(1)、(2)可知，對任意n∈N*命題都成立．