Question

設A、B為函數y=

3

2

|x|( x∈[-1，1] )圖象上不同的兩個點，且 AB∥x軸，又有定點M(1，m)(m＞

3

2

)，已知M是線段BC的中點．
（1）設點B的橫坐標為t，寫出△ABC的面積S關于t的函數S=f（t）的表達式；
（2）求函數S=f（t）的最大值，并求此時點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）假設B的坐標，利用M是線段BC的中點，可得點C的坐標，從而可得△ABC的面積S關于t的函數S=f（t）的表達式；
（2）先配方，再分類討論，即可求得函數S=f（t）的最大值，及此時點C的坐標．

解答：解：（1）如圖，設B(t，  

3

2

|t|)，由M是線段BC的中點，且M(1，m)(m＞

3

2

)，可得點C的坐標為C(2-t，   2m-

3

2

|t|)．
∴S=

1

2

•2|t|•[(2m-

3

2

|t|)-

3

2

|t|]=|t|(2m-3|t|)
即：S=f(t)=-3|t|2+2m|t|(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)…（6分）
（2）由上知：f(t)=-3|t|2+2m|t|=-3(|t|-

m

3

)2+

m2

3

(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)
①當 

m 3 ≤1 m＞ 3 2

即 

3

2

＜m≤3時，令|t|=

m

3

，f（t）有最大值 

m2

3

，
此時，點C的坐標為C (2±

m

3

，   

3

2

m)；
②當 

m 3 ＞1 m＞ 3 2

即 m＞3時，令|t|=1，f（t）有最大值 2m-3，此時，點C的坐標為 C (1，  2m-

3

2

)或 C (3，  2m-

3

2

)…．（12分）
綜上，當

3

2

＜m≤3時，f（t）有最大值

m2

3

，此時，點C的坐標為C (2±

m

3

，   

3

2

m)；當m＞3時，f（t）有最大值2m-3，此時，點C的坐標為C (1，  2m-

3

2

)或C (3，  2m-

3

2

)…（13分）

點評：本題考查三角形面積的計算，考查函數的最值，考查配方法的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．