Question

已知三棱錐P-ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長．

Answer 1

分析：（I）連接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F為AC、AB的中點，可得PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，可得PA⊥PC①，由已知易證AB⊥面PCF，從而可得AB⊥PC，利用線面垂直的判定定理可證
（II）：（法一定義法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC為所求的二面角，由（I）可得△PEF為直角三角形，Rt△PEF中，求解即可
（法二：三垂線法）作出P在平面ABC內的射影為O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O為等邊三角形ABC的中心，由PF⊥AB，結合三垂線定理可得AB⊥OF，∠PFO為所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO
（III）由題意可求PABC的外接球的半徑R=

3

，
（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P-ABC的外接求即以PAPBPC為棱的正方體的外接球，從而有(2R)2=

3

PA，代入可得PA，從而可求
（法二）延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑．即PD=2

3

，在直角三角形PFO中由tan∠PFO=

PO

OF

?PO=

6

6

AB，而OA=OA=

2

3

OF，利用OA²=OP•OD，代入可求

解答：解（Ⅰ）證明：連接CF．
∵PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∴PC⊥平面PAB．（4分）

（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC為所求二面角的平面角．
設AB=a，則AB=a，則PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a．
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．（8分）
解法二：設P在平面ABC內的射影為O．
∵△PAF≌△PAE，
∴△PAB≌△PAC．
得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．
∴∠PFO為所求二面角的平面角．
設AB=a，則PF=

a

2

，OF=

1

3

•

3

2

a．
∴cos∠PFO=

OF

PF

=

3

3

．（8分）
（Ⅲ）解法一：設PA=x，球半徑為R．
∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴

3

x=2R．
∵4πR²=12π，∴R=

3

．得x=2．
∴△ABC的邊長為2

2

．（12分）
解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑．連接OA、AD，可知△PAD為直角三角形．
設AB=x，球半徑為R．
∵4πR²=12π，∴PD=2

3

．
∵PO=OFtan∠PFO=

6

6

x，OA=

2

3

•

3

2

x，
∴(

3

3

x)2=

6

6

x（2

3

-

6

6

x）．
于是x=2

2

．
∴△ABC的邊長為2

2

．（12分）

點評：本小題主要考查空間線面垂直的關系、二面角的度量、幾何體的構造的等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．