Question

點M在橢圓（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（I）若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點F（1，0），設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據正三角形的性質可求得圓的半徑，及M到y軸的距離，進而根據圓M與x軸相切求得，．求得a和b的關系式，進而根據c=求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）先看當直線與x軸垂直時，把x=1代入橢圓方程求得y_A的表達式，進而根據|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立求得a的范圍；再看l不垂直于x軸時，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）及直線方程，把直線方程代入橢圓方程消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，看當當a²-a²b²+b²＞0對k∈R不是恒成立的．當，恒成立．當a²-a²b²+b²＜0時恒成立，進而推斷出a²＜（a²-1）b²=b⁴，求得a的范圍．最后綜合可得答案．
解答：解：（I）∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓的半徑r=2，
∴M到y軸的距離
又圓M與x軸相切，∴當x=c時，得，∴．
∴∵a²-b²=c²，
∴a²-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），則b²=2a=6．
故所求橢圓方程為．
（II）①當直線l垂直于x軸時，把x=1代入，得．
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴．
解得或（舍去），即．
②當l不垂直x軸時，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直線AB的方程為
得（b²+a²k²）x²-2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
則
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²＜（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=，
由題意得，（a²-a²b²+b²）k²-a²b²＜0對k∈R恒成立．
當a²-a²b²+b²＞0對k∈R不是恒成立的．
當，恒成立．
當a²-a²b²+b²＜0時恒成立，∴a²＜a²b-b²，即a²＜（a²-1）b²=b⁴，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b²，即a＜a²-1，
∴a²-a-1＞0，解得或，即．
綜上，a的取值范圍是
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，平時應加強訓練．