Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+?）(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的圖象過點（0，1），在相鄰兩最值點
（x₀，2），(x0+

3

2

，-2)（x₀＞0）上f（x）分別取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=af（x）+b的最大和最小值分別為6和2，求a，b的值；
（3）已知函數f（x）=Asin（ωx+?）(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)，如果在任意兩個偶數內f（x）至少能同時取得最大值A和最小值-A，那么正整數ω的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）依題意，通過相鄰兩最值點橫坐標的差值解得T，再利用T=

2π

ω

，解得ω．又最大值為2，最小值為-2，可得A=2，于是y=2sin（

2π

3

x+φ）．根據圖象經過（0，1），可得2sinφ=1，又|φ|＜

π

2

，可得φ．得到函數的解析式．
（2）利用函數的解析式推出-2≤f（x）≤2，利用最值即可得出a、b的方程組，解出a、b即可．
（3）利用函數的周期，找出最大值A和最小值-A，滿足題意的ω的最小值即可．

解答：解：（1）依題意，得

T

2

=x0+

3

2

-x0，解得T=3=

2π

ω

，解得ω=

2π

3

．
∵f（x）的最大值為2，最小值為-2，∴A=2，
∴y=2sin（

2π

3

x+φ）．
∵圖象經過（0，1），
∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

．
又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（

2π

3

x+

π

6

）．
（2）∵f（x）=2sin（

2π

3

x+

π

6

），
∴-2≤f（x）≤2，
∵函數g（x）=af（x）+b的最大和最小值分別為6和2，
∴

-2a+b=6 2a+b=2

或

-2a+b=2 2a+b=6

解得，

a=-1 b=4

或

a=1 b=4

．
（3）函數f（x）=Asin（ωx+?）(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)，
如果在任意兩個偶數內f（x）至少能同時取得最大值A和最小值-A，
必須

T

2

≤2，T≤4，即

2π

ω

≤4，∴ω≥

π

2

．
ω的最小值為：

π

2

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，熟練掌握三角函數的圖象與性質是解題的關鍵．考查計算能力．