Question

（2012•威海二模）如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，ABCD為平行四邊形，E，F分別為AD，BP的中點，AD=3，AP=5，PC=2

7

．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP=90°，求證BE⊥DP；
（Ⅲ）若∠CDP=120°，求該多面體的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO，DO，可證FO∥ED，且FO=ED，所以四邊形EFOD是平行四邊形，從而可得EF∥DO，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PDC；
（Ⅱ）先證明PD⊥平面ABCD，再證明BE⊥DP；
（Ⅲ）連接AC，由ABCD為平行四邊形可知△ABC與△ADC面積相等，所以三棱錐P-ADC與三棱錐P-ABC體積相等，即五面體的體積為三棱錐P-ADC體積的二倍．

解答：（Ⅰ）證明：取PC的中點為O，連FO，DO，

∵F，O分別為BP，PC的中點，∴FO∥BC，且FO=

1

2

BC，
又ABCD為平行四邊形，ED∥BC，且ED=

1

2

BC，
∴FO∥ED，且FO=ED
∴四邊形EFOD是平行四邊形---------------------------------------------（2分）
即EF∥DO   
又EF?平面PDC，
∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：若∠CDP=90°，則PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC，DP?平面PDC，∴AD⊥DP，
∵AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，---------------------------------（6分）
∵BE?平面ABCD，
∴BE⊥DP--------------------------------（8分）
（Ⅲ）解：連接AC，由ABCD為平行四邊形可知△ABC與△ADC面積相等，
所以三棱錐P-ADC與三棱錐P-ABC體積相等，即五面體的體積為三棱錐P-ADC體積的二倍．
∵AD⊥平面PDC，DP?平面PDC，∴AD⊥DP，
由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP=120°，PC=2

7

，由余弦定理并整理得DC²+4DC-12=0，解得DC=2--------------------------（10分）
∴三棱錐P-ADC的體積V=

1

3

×

1

2

×2×4×sin120°×3=2

3

∴該五面體的體積為4

3

-----------------------------（12分）

點評：本題考查線面平行，線線垂直，考查多面體的體積，解題的關鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定方法，正確運用三棱錐的體積公式．