Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱AA₁，BB₁的中點．
（1）求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求異面直線A₁F與D₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，分別證明四邊形AA₁C₁C、四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，然后得到線線平行，進一步得到線面平行，最后利用兩面平行的判定定理得結(jié)論；
（2）連結(jié)C₁F，證明D₁F∥C₁E，通過解直角三角形求出△A₁C₁F的三邊長，然后利用余弦定理求角的余弦值．

解答：證明：（1）如圖，
連結(jié)AC，AD₁，CD₁，A₁C₁，A₁B，C₁B．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，∴A₁C₁∥AC．
A₁C₁?平面ACD₁，AC?平面ACD₁，∴A₁C₁∥平面ACD₁；
∵A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，∴A₁B∥CD₁．
A₁B?平面ACD₁，CD₁?平面ACD₁，∴A₁B∥?平面ACD₁，
又A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）連結(jié)C₁F，∵E，F(xiàn)分別是棱AA₁，BB₁的中點，∴EF∥C₁D₁，EF=C₁D₁
∴EFC₁D₁是平行四邊形，∴D₁F∥C₁E．
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，解直角三角形求得A1C1=2

2

，A1F=C1F=

5

．
在△A₁C₁F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=

A1F2+C1F2-A1C12

2A1F•C1F

=

( 5 )2+( 5 )2-(2 2 )2

2× 5 × 5

=

1

5

．
∴異面直線A₁F與D₁E所成的角的余弦值是

1

5

．

點評：本題考查了平面與平面平行的判定，考查了異面直線所成的角的求法，訓(xùn)練了利用余弦定理求角，是中檔題．