Question

設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式．3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數列{a_n}是等比數列．．（2）設數列{a_n}的公比為f（t），作數列{b_n}，使b₁=1，b_n=（n=2，3，4…）求數列{b_n}的通項公式．（3）求和S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -…+（-1）^n-1b_nb_n+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t，兩式相減可得數列a_n與a_n-1的遞推關系，從而可證．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得，利用等差數列的通項公式可求．
（3）考慮到，從而可以把所求式兩項結合，而結合的組數則根據n的值而定，從而需對n分為奇數和偶數兩種情討論．
解答：解：（1）∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
兩式相減可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴
∵a₁=1∴即
數列{a_n}是以1為首項，以為公比的等比數列
（2）由（1）可得f（t）=
在數列{b_n}中，=
∴
數列{b_n}以1為首項，以為公差的等差數列
∴
（3）當n為偶數時S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+（-1）^n-1b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=
=
 當n為奇數時S_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）+b_nb_n+1
=
=
=
點評：本題主要考查了利用遞推關系實現數列和與項的相互轉化，進而求通項公式，等差數列的通項公式的運用，數列的求和，在解題中體現了分類討論的思想．