Question

已知△OAB中，點C是點B關于點A的對稱點，點D是線段OB的一個靠近B的三等分點，設

AB

=

a

，

AO

=

b

．
（1）用向量

a

與

b

表示向量

OC

，

CD

；
（2）若

OE

=

4

5

OA

，求證：C、D、E三點共線．

Answer 1

分析：（1）由點C是點B關于點A的對稱點，則A為BC的中點，由于

OC

=

OA

+

AC

，

CD

=

CB

+

BD

=

CB

+

1

3

BO

=

CB

+

1

3

（

BA

+

AO

），結合已知條件，及向量加減法的三角形法則，我們易得結論．
（2）要證明C、D、E，我們可以證明

CE

與

CD

共線，即存在一個實數λ，使

CE

=λ

CD

成立．

解答：解：（1）∵

AB

=

a

，

AO

=

b

∴

OC

=

OA

+

AC

=-

a

-

b

CD

=

CB

+

BD

=

CB

+

1

3

BO

=

CB

+

1

3

（

BA

+

AO

）=2

a

+

1

3

(-

a

+

b

)=

5

3

a

+

1

3

b

（2）∵

CE

=

OE

-

OC

=

4

5

(-

b

)+

a

+

b

=

a

+

1

5

b

=

3

5

CD

∴

CE

與

CD

又∵

CE

與

CD

有公共點C，
∴C、D、E三點共線

點評：本題考查的知識點是向量加減法的三角形法則和向量的共線定理，后者是難點，在利用向量法證明三點共線時，我們可利用三點構造出兩個向量，先證明這兩個向量共線，再說明它們有公共點，進而得到三點共線．