Question

11．已知在直角坐標系中，曲線的C參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），現以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{cosθ-sinθ}$．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）在曲線C上是否存在一點P，使點P到直線l的距離最小？若存在，求出距離的最小值及點P的直角坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用坐標的互化方法，求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）點P到直線l的距離d=$\frac{|2cosφ-2sinφ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（φ-\frac{π}{4}）+4}{\sqrt{2}}$，即可求出距離的最小值及點P的直角坐標．

解答 解：（1）曲線的C參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），普通方程為（x-1）²+（y-1）²=4，
直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{4}{cosθ-sinθ}$，直角坐標方程為x-y-4=0；
（2）點P到直線l的距離d=$\frac{|2cosφ-2sinφ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}sin（φ-\frac{π}{4}）+4}{\sqrt{2}}$，
∴φ-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z），距離的最小值為2$\sqrt{2}$-2，點P的直角坐標（1+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查三種方程的互化，考查參數方程的運用，屬于中檔題．