Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為(-

1

3

，1)，求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數是單調遞減函數得g'（x）＜0的解集為（-

1

3

，1）即g'（x）=0方程的兩個解是-

1

3

，1將兩個解代入到方程中求出a的值可得到g（x）的解析式；
（Ⅱ）由g'（-1）=4得到直線的斜率，直線過（-1，1），則寫出直線方程即可；
（Ⅲ）把f（x）和g'（x）代入到不等式中解出a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，設h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，利用導數討論函數的增減性求出h（x）的最大值即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）g'（x）=3x²+2ax-1，由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x²-2x-1，
∴g'（-1）=4，
∴點P（-1，1）處的切線斜率k=g'（-1）=4，
∴函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程為：y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．
（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，
∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立可得
a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

對x∈（0，+∞）上恒成立．
設h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2．
∴a≥-2，
∴a的取值范圍是[-2，+∞）

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，以及會用待定系數法求函數的解析式，理解函數恒成立時所取的條件．