Question

已知α，β是三次函數f(x)=

1

3

x3-ax2+2bx的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則

b+2

a-3

的取值范圍是（　　）

• A．（-2，-

  4

  5

  ）
• B．(-

  1

  2

  ，-

  2

  5

  )
• C．[-

  1

  2

  ，-

  1

  6

  ]
• D．(-∞，-

  1

  2

  )∪(-

  2

  5

  ，+∞)

Answer 1

分析：因為函數有兩個極值，則f'（x）=0有兩個不同的根，即△＞0，又f'（x）=x²-2ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），所以

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1-2a+2b＜0 f′(2)=4-4a+2b＞0

，

b+2

a-3

的幾何意義是指動點P（a，b）到定點A（3，-2）兩點斜率的取值范圍，做出可行域能求出

b+2

a-3

的取值范圍．

解答：解：因為函數有兩個極值，則f'（x）=0有兩個不同的根，即△＞0，
又f'（x）=x²-2ax+2b，
又α∈（0，1），β∈（1，2），
∴

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1-2a+2b＜0 f′(2)=4-4a+2b＞0

，

b+2

a-3

的幾何意義是指動點P（a，b）到定點A（3，-2）兩點斜率的取值范圍，
做出可行域如圖，
∵B（

1

2

，0），C（1，0），解方程組

4-4a+2b=0 1-2a+2b=0

，得D（

3

2

，1）
∴k_AB=

-2-0

3- 1 2

=-

4

5

，k_AC=

-2-0

3-1

=-1，k_AD=

-2-1

3- 3 2

=-2．
∴

b+2

a-3

的取值范圍是（-2，-

4

5

）．
故選A．

點評：本題考查函數在某點取得極值的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意可行域的合理運用．