Question

已知點P₁（x₀，y₀）為雙曲線

x2

8b2

-

y2

b2

=1（b為正常數）上任一點，F₂為雙曲線的右焦點，過P₁作右準線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長交y軸于P₂．
（1）求線段P₁P₂的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

Answer 1

分析：（1）由已知得F2(3b，0)，A(

8

3

b，y0)，則直線F₂A的方程為：y=

3y0

b

(x-3b)，令x=0得P₂（0，9y₀），設P（x，y），則

x= x0 2 y= x0+9y0 2 =5y0

，由此能求出P的軌跡E的方程．
（2）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1中，令y=0得x²=2b²，設B(-

2

b，0)，D(

2

b，0)，直線QB的方程為：y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，直線QD的方程為：y=

y1

x1- 2 b

(x-

2

b)，則M（0，

2 by1

x1+ 2 b

），N（0，

- 2 by1

x1- 2 b

），由此能導出以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．

解答：解：（1）由已知得F2(3b，0)，A(

8

3

b，y0)，則直線F₂A的方程為：y=

3y0

b

(x-3b)，
令x=0得y=9y₀，即P₂（0，9y₀），
設P（x，y），則

x= x0 2 y= x0+9y0 2 =5y0

，即

x0=2x y0= y 5

代入

x02

8b2

-

y02

b2

=1得：

4x2

8b2

-

y2

25b2

=1，
即P的軌跡E的方程為

x2

2b2

-

y2

25b2

=1．
（2）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1中令y=0得x²=2b²，則不妨設B(-

2

b，0)，D(

2

b，0)，
于是直線QB的方程為：y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，∴直線QD的方程為：y=

y1

x1- 2 b

(x-

2

b)，
則M（0，

2 by1

x1+ 2 b

），N（0，

- 2 by1

x1- 2 b

），
則以MN為直徑的圓的方程為：x2+(y-

2 by1

x1+ 2 b

)•(y+

2 by1

x1- 2 b

)=0，
令y=0得：x2=

2b2y12

x12-2b2

，而Q（x₁，y₁）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1上，則x12-2b2=

2

25

y12，
于是x=±5b，即以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．

點評：本題考查軌跡方程的求法和求證以MN為直徑的圓過兩定點．解題時要要認真審題，熟練掌握圓錐曲線的性質，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．