Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一個零點，又f（x）在x=0處有極值，
（1）求c的值；
（2）當a＞0，b=3a時，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的實數a的取值范圍；
（3）若f（x）在區間（-6，-4）和（-2，0）上是單調的，且在這兩個區間上的單調性相反，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=0有極值，
∴f'（0）=0
∴c=0
（2）b=3a，且-2是f（x）的一個零點，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a
∴f（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）
由f'（x）=0得x=0或x=-2
當a＞0時

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以當a＞0時，若-3≤x≤2，則-4a≤f（x）≤16a
所以 ，即 ，故 a的取值范圍是 ．
（3）f'（x）=3ax²+2bx，
由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或
∵f（x）在區間（-6，-4）和（-2，0）上單調且單調性相反
∴，
故 ．
分析：（1）求出函數f（x）的導函數，由題意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）將b=3a代入到f'（x）中，化簡得f'（x）的零點為x=0或-2，根據當a＞0，可以得出f（x）在區間[-3，2]上的取值范圍，最后根據不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化簡即得實數a的取值范圍．
（3）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零點為x=0或 ，再根據f（x）在區間（-6，-4）和（-2，0）上的單調且單調性相反，列出不等式組，化簡得 ，故 ；
點評：本題以函數為載體，主要考查利用導數求函數的極值，考查函數的最值，考查方程根的討論，屬于中檔題．其中利用導數研究函數的單調性與極值是解題的關鍵．