Question

10．有下列敘述；
①若f（x）=|x-1|+|x+a|為區間[-3，b]上的偶函數，則a+b=4；
②若關于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0有兩個大于1的實數根，則k的取值范圍為（2，+∞）；
③已知函數f（x）=x|x|，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）；
④已知A和B是單位圓O上的兩點，∠AOB=$\frac{2}{3}$π，點C在劣弧$\widehat{AB}$上，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，則x+y的最大值是2．
其中正確敘述的個數為（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據絕對值函數的性質以及函數奇偶性的定義和性質進行求解判斷，
②構造函數，結合一元二次函數根的分布建立不等式組進行求解判斷，
③判斷函數的單調性，將不等式恒成立進行轉化求解即可．
④利用平面向量數量積的坐標公式進行轉化，結合基本不等式的性質進行求解即可．

解答 解：①若f（x）=|x-1|+|x+a|為區間[-3，b]上的偶函數，
則b=3，
∵|x-1|關于x=1對稱，|x+a|關于x=-a對稱
∴若函數f（x）是偶函數，
則x=1與x=-a關于y軸對稱，則a=1，
則a+b=4；故①正確，
②若關于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0有兩個大于1的實數根，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-（2k+1）+{k}^{2}＞0}\\{-\frac{-（2k+1）}{2}=\frac{2k+1}{2}＞1}\\{△=（2k+1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-2k＞0}\\{2k+1＞2}\\{4k+1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞2或k＜0}\\{k＞\frac{1}{2}}\\{k≥-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
解得k＞2．則k的取值范圍為（2，+∞）；故②正確，
③已知函數f（x）=x|x|，
則當x＜0時，f（x）=-x²遞增，當x≥0時，f（x）=x²遞增，
函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（$\sqrt{2}$-1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（$\sqrt{2}$-1）（t+2），
解得：t≥$\sqrt{2}$，則實數t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）；故③正確，
④若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
則${\overrightarrow{OC}}^{2}=1=（x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}）^{2}$=${x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根據向量加法的平行四邊形法則，容易判斷出x，y＞0，
∴$x+y≥2\sqrt{xy}$，∴$xy≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$；
∴$（x+y）^{2}-1≤\frac{3}{4}（x+y）^{2}$，
∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值為2．故④正確，
故正確的命題是①②③④，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．考查學生的運算和推理能力，有一定的難度．