Question

（2012•濟寧一模）已知定義域為R的函數f（x）既是奇函數，又是周期為3的周期函數，當x∈（0，

3

2

）時，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=0，則函數f（x）在區間[0，6]上的零點個數是（　　）

A．9

B．7

C．5

D．3

Answer 1

分析：由題意知當x∈(0，

3

2

)時f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由條件和奇函數的性質，求出一個周期[-

3

2

，

3

2

]內函數零點的個數，根據f（x）是定義域為R的周期為3函數，根據周期性進行求出在區間[0，6]上的零點即可．

解答：解：由題意得當x∈(0，

3

2

)時，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，且f(

3

2

)=0，
∴在區間[-

3

2

，

3

2

]上有f（-1）=f（1）=f（-

3

2

）=f（

3

2

）=0，且f（0）=0，
∵函數f（x）是周期為3的周期函數，
則方程f（x）=0在區間[0，6]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6，共9個．
故選A．

點評：本題考查了函數的周期性和奇偶性的綜合應用，關鍵結論“若奇函數經過原點，則必有f（0）=0”應用，這個關系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區間為開區間，則答案為7個，若區間為半開半閉區間，則答案為8個，故要注意對端點的分析．