Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f'（x）的圖象如圖所示．下列關于f（x）的命題：

X	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函數f（x）的極大值點為0，4；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由導函數的圖象得到原函數的單調區間，由此判斷命題①②，由定義域和值域的關系判斷命題③，結合極小值f（2）的大小判斷當1＜a＜2時函數y=f（x）-a的零點情況．

解答：由導函數的圖象可知：當x∈（-1，0），（2，4）時，f′（x）＞0，
函數f（x）增區間為（-1，0），（2，4）；
當x∈（0，2），（4，5）時，f′（x）＜0，
函數f（x）減區間為（0，2），（4，5）．
由此可知函數f（x）的極大值點為0，4，命題①正確；
∵函數在x=0，2處有意義，∴函數f（x）在[0，2]上是減函數，命題②正確；
當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，命題③不正確；
2是函數的極小值點，若f（2）＞1，則函數y=f（x）-a不一定有4個零點，命題④不正確．
∴正確命題的序號是①②．
故答案為：①②．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，考查了函數的極值點兩側函數的單調性，訓練了函數的零點與對應圖象交點的關系，屬中檔題．