Question

如圖，F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點，P為橢圓上一點，O為原點，記△OFP的面積為S，且

OF

•

FP

=1．
（1）設

1

2

＜S＜

3

2

，求向量

OF

與

FP

夾角的取值范圍．
（2）設|

OF

|=c，S=

3

4

c，當c≥2時，求當|

OP

|取最小值時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由

OF

•

FP

=1得|

OF

|•|

FP

|cosθ=1，由S=

1

2

|

OF

|•|

FP

|sin(π-θ)，借助于

1

2

＜S＜

3

2

，可得1＜tanθ＜

3

，從而求出向量

OF

與

FP

夾角的取值范圍．
（2）由題意|

OP

|=

x 2 0 + y 2 0

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

由單調性可知當c=2時有最小值，從而可求橢圓的方程．

解答：解：（1）設

OF

與

FP

的夾角為θ，由題意得

OF

•

FP

=|

OF

|•|

FP

|cosθ=1，S=

1

2

|

OF

|•|

FP

|sin(π-θ)…（2分）
兩式相除可得tanθ=2S，又

1

2

＜S＜

3

2

，所以1＜tanθ＜

3

…（2分）
所以向量

OF

與

FP

夾角的取值范圍是45°＜θ＜60°…（1分）
（2）設P（x₀，y₀），F（c，0），所以

OF

=(c，0)，

FP

=(x0-c，y0)，
所以

OF

•

FP

=c(x0-c)=1，即x0=c+

1

c

…（1分）
所以S=

1

2

c|y0|=

3

4

c，|y0|=

3

2

…（1分）
所以|

OP

|=

x 2 0 + y 2 0

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

…（2分）
由單調性可知當c=2時有最小值，此時x0=

5

2

，…1分|y₀|=3，此時F₁（-2，0），F₂（2，0），所以2a=PF1+PF2=

( 5 2 +2)2+ 9 4

+

( 5 2 -2)2+ 9 4

=2

10

…（2分）
所以橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1…（2分）

點評：本題主要考查向量的數量積，考查橢圓標準非常的求解，屬于中檔題．