Question

【題目】已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，平面，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)為，求證四邊形為平行四邊形，即可由線(xiàn)線(xiàn)平行推證線(xiàn)面平行；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求解兩平面法向量之間夾角的余弦值，從而求得二面角夾角的余弦值.

（1）證明：∵，，∴是中點(diǎn)，

取中點(diǎn)，連，，如下圖所示：

則在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四邊形為平行四邊形，∴//，

又，//，∴四邊形為平行四邊形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即證.

（2）以為原點(diǎn)，以分別為建立如圖所示的空間的直角坐標(biāo)系.

因?yàn)橐阎�該四棱柱為直四棱柱�?/span>，，

所以為等邊三角形.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).

故點(diǎn)，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量為，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

設(shè)平面和平面所成銳角為，

則.

即平面和平面所成銳角的余弦值為.