Question

已知函數f（x）=cos（+x）cos（-x），g（x）=sin2x-
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對于求函數f（x）的最小正周期，可以先將函數按照兩角和，兩角差的余弦公式展開后，再利用降冪公式化成一個角一個函數的形式后，用公式T=周期即可求出．
（Ⅱ）對于函數h（x）=f（x）-g（x），把f（x）與g（x）解析式代入后，依照兩角和余弦公式的逆用化成一個角一個函數為h（x）=cos（2x+），由于定義域為全體實數R，故易知最值為，而此時角2x+應為x軸正半軸的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此確定角x的取值幾何即可．
解答：解：（1）f（x）=cos（+x）cos（-x）=（cosx-sinx）（cosx+sinx）=cos²x-=-=cos2x-，
∴f（x）的最小正周期為=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=cos2x-sin2x=（cos2x-sin2x）=（coscox2x-sinsin2x）=cos（2x+）
∴當2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ-，k∈Z時，h（x）取得最大值，且此時x取值集合為{x|x=kπ-，k∈Z}
點評：本題主要考查三角函數的周期和最值問題，并兼顧檢測了學生對兩角和，差的正余弦公式和降冪公式等，屬于三角函數的綜合性問題．而解決有關復合角三角函數問題的關鍵還是在于對三角函數性質的掌握，本題難度系數0.6