Question

（2012•許昌二模）如圖，已知⊙O₁與⊙O₂外切于點P，AB是兩圓的外公切線，A，B為切點，AB與O₁O₂的延長線相交于點C，延長AP交⊙O₂于點D，點E在AD延長線上，
（1）求證：△ABP是直角三角形；
（2）若AB•AC=AP•AE，AP=4，PD=

9

4

，求

EC

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）要證明△ABP是直角三角形，可以根據切線的性質，證明∠APB=90°即可
（2）求

EC

AC

的值，可以找到它們與已知線段的關系，通過求PB，證明△PBC∽△APC得出．

解答：（1）證明：連接PB，OA，OB，
∵AB為公切線，∴∠1=

1

2

∠O₁，∠2=

1

2

∠PO₂B
∵O₁A∥O₂B，∴∠O₁+∠PO₂B=180°，∴∠1+∠2=90°，
∴∠APB=90°，∴△ABP是直角三角形．
（2）作內公切線PH，交AB于H，則AH=PH=HB，
∴∠APB=90°，∠DPB=90°，
∴DB為⊙O直徑，∴DB⊥AB于B，∴Rt△ABD中，BP為斜邊AD上的高，
∴PB²=AP•DP=4×

9

4

=9，∴PB=3，∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5，
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C，∴∠PBC=∠APC，
又∵∠6=∠6，∴△PBC∽△APC，∴

PC

AC

=

PB

AP

=

3

4

，
又∵BP⊥AE于P，∴∠3+∠4=90°，
∵AB為公切線，∴O₂B⊥AB于B，∴∠2+∠5=90°，
又∵O₂P=O₂B，∴∠4=∠5，∴∠2=∠3．
由（1）知△APB∽△ACE，∴∠E=∠2，∴∠3=∠E，∴PC=EC．
∴

EC

AC

=

3

4

．

點評：本題綜合考查了圓與圓的位置關系、圓心角和圓周角的關系、切線的性質、相似三角形的判定和性質等多個知識點．