Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的內接等腰△ABC的頂點A的坐標為（0，b），其底邊BC上的高在y軸上，若△ABC的面積不超過

3

2

b2，則橢圓離心率的取值范圍為（　�。�

• A、(0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、(0，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  2

  ，1)

Answer 1

分析：首先設點B（acosx，bsintx） C（-acosx，bsinx），進而求得底邊、高、面積得出恒有（1-sinx）cosx≤

3b

2a

，再根據(jù)c²=a²-b²，就能得到答案．

解答：解：∵△ABC為等腰三角形．
∴可設點B（acosx，bsinx） C（-acosx，bsinx）．其中-

π

2

＜x＜

π

2

．
此時易知，該三角形底邊BC=2acosx，高=b（1-sinx）
∴S=ab（1-sinx）cosx
由題設可得ab（1-sinx）cosx≤

3

2

b2
∴恒有（1-sinx）cosx≤

3b

2a

∴

3 3

4

≤

3b

2a

整理可得，

3

a≤2b
兩邊平方，3a²≤4b²=4（a²-c²）
∴4c²≤a²
∴

c

a

≤

1

2

．
故選A．

點評：本題考查了橢圓的簡單性質，本題采用參數(shù)方法使問題變得簡單化，屬于中檔題．