Question

設函數定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.數列{a_n}滿足a₁=f(0)，且f()=.問：是否存在正數k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并證明，否則說明理由.

Answer 1

解：令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),

∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1,

∵f(0)=f(x)f(-x)  ∴f(x)>0  

設x₁<x₂  ∵x₁-x₂<0 ∴f(x₁-x₂)>1  

∴f(x₁)=f(x₁-x₂)f(x₂)  

∴f(x₁)>f(x₂)

∴f(x)是R上的減函數.

由,

∴

又∵a₁=f(0)=1.  

∴{a_n}是等差數列，其首項為1，公差為d=2.∴a_n=2n-1.

∴存在正數k，使成立.

設

∴F(n)單調遞增. ∴F(1)為F(n)的最小值.

由F(n)≥k恒成立. ∴k≤

∴k的最大值為