Question

設公比小于零的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，求數列{b_n}的前n項T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知=-1-q-q²=-3，故q²+q-2=0，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由數列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，知T_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]，由此能求出數列{b_n}的前n項T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵公比小于零的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃，
∴=-1-q-q²=-3，
∴q²+q-2=0，解得q=-2，或q=1（舍）．
∴．
（Ⅱ）∵數列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（a₁+1）+（a₂+3）+（a₃+5）+…+[a_n+（2n-1）]
=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]
=（-1）•+
=-+n²．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．