Question

（2011•洛陽二模）已知函數f（x）=sin2x+acos2x的圖象的一條對稱軸是直線x=

π

6

，則函數g（x）=-asin2x-cos2x的單調遞增區間為（　　）

• A．[kπ-

  5π

  12

  ，kπ+

  π

  12

  ](k∈z)
• B．[2kπ-

  5π

  12

  ，kπ+

  π

  12

  ](k∈z)
• C．[kπ+

  π

  12

  ，kπ+

  7π

  12

  ](k∈z)
• D．[2kπ-

  π

  12

  ，kπ+

  7π

  12

  ](k∈z)

Answer 1

分析：根據三角函數的在圖象的對稱軸處函數取得最值，解出a=

3

3

．由此得到g（x）=-

3

3

sin2x-cos2x，化簡為g（x）=-

2 3

3

sin（2x+

π

3

），最后根據三角函數的單調區間求法，解關于x的不等式，即可得到所求g（x）的單調增區間．

解答：解：∵函數f（x）=sin2x+acos2x的圖象的一條對稱軸是直線x=

π

6

，
∴當x=

π

6

時，f（x）取得最值，即f（

π

6

）=sin

π

3

+acos

π

3

=

1+a2

或-

1+a2

即

1+a2

sin（θ+

π

3

）=

1+a2

或-

1+a2

（其中θ滿足tanθ=a）
因此，θ+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），得θ=

π

6

+kπ（k∈Z）
∴tanθ=tan（

π

6

+kπ）=

3

3

，得a=

3

3

函數g（x）=-

3

3

sin2x-cos2x=-

2 3

3

sin（2x+

π

3

）
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
∴函數g（x）的單調遞增區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈z)
故選：C

點評：本題給出已知三角函數圖象的對稱軸，求另一個三角函數的單調增區間，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．