Question

下列命題中假命題 是（　　）

• A、離心率為

  2

  的雙曲線的兩條漸近線互相垂直
• B、過點（1，1）且與直線x-2y+

  3

  =0垂直的直線方程是2x+y-3=0
• C、拋物線y²=2x的焦點到準線的距離為1
• D、

  x2

  32

  +

  y2

  52

  =1的兩條準線之間的距離為

  25

  4

Answer 1

分析：A設出雙曲線的標準方程，則可表示出其漸近線的方程，根據離心率為

2

，推斷出其斜率之積為-1進而求得a兩條漸近線互相垂直．
B設與直線x-2y+

3

=0垂直的直線的方程，把點（1，1）的坐標代入求出c值，即得所求的直線的方程．
C根據拋物線的方程求得拋物線的焦點坐標和準線的方程，進而利用點到直線的距離求得焦點到準線的距離．
D先據標準方程求出a²、b²，計算c²，兩準線間的距離為

2a2

c

解答：解：對于A：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x
根據離心率為

2

，推斷出其斜率之積為-1進而兩條漸近線互相垂直，故正確；
B：設所求的直線方程為2x+y+c=0，把點（1，1）的坐標代入得 2+1+c=0，
∴c=-3，
故所求的直線的方程為2x+y-3=0，故正確；
C：根據題意可知焦點F（

1

2

，0），準線方程x=-

1

2

，
∴焦點到準線的距離是1，故正確．
D：a=3，b=5，∴c²=41，

2a2

c

=

6

41

，∴兩準線間的距離為

2a2

c

=

6

41

故錯．
故選 D．

點評：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、拋物線的簡單性質．考查了學生對拋物線標準方程的理解和運用，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．