Question

現有一條長度為1的繩子．
（1）用剪刀剪成兩段，使得兩段長度都大于

1

3

的概率是多少？
（2）用剪刀剪成三段，使三段能構成三角形的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）本題利用幾何概型求解．只須求出滿足：斷點與繩子兩端的距離都大于

1

3

的長度，再將求得的長度值與整個繩子長度求比值即得．
（2）先設繩子其中兩段的長度分別為x、y，分別表示出繩子隨機地折成3段的x，y的約束條件和3段構成三角形的約束條件，再畫出約束條件表示的平面區域，利用面積測度即可求出構成三角形的概率．

解答：解：（1）若想兩段長短都大于

1

3

，則只能在兩個三等分點之間剪斷，則其概率為

1

3

．
（2）設三段長分別為x，y，1-x-y，
則

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜1-x-y＜1

⇒

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜x+y＜1

其區域構成三角形OAB（如圖14-4-5）．
若使剪成的三段構成三角形，則x，y須滿足：

x+y＞1-x-y y+1-x-y＞x x+1-x-y＞y

⇒

x+y＞ 1 2 0＜x＜ 1 2 0＜y＜ 1 2

此時的區域為三角形CDE，故所求概率為

1

4

．

點評：本小題主要幾何概型、幾何概型的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．