Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直線AB與平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）當AD的長為何值時，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°？

Answer 1

分析：（I）利用面面垂直的性質，可得CB⊥平面ABEF，再利用線面垂直的判定，證明AF⊥平面CBF，從而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；
（II）確定∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角，過點F作FH⊥AB，交AB于H，計算出AF，即可求得直線AB與平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面DCF的法向量

n1

=(0， 2t， 

3

)，平面CBF的一個法向量

n2

=

AF

=(-

1

2

， 

3

2

， 0)，利用向量的夾角公式，即可求得AD的長．

解答：（I）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，…（2分）
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．         …（3分）
∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．…（4分）
（II）解：根據（Ⅰ）的證明，有AF⊥平面CBF，
∴FB為AB在平面CBF內的射影，因此，∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角                   …（6分）
∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形，
過點F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，則AH=

AB-EF

2

=

1

2

．
在Rt△AFB中，根據射影定理AF²=AH•AB，得AF=1．       …（8分）
∴sin∠ABF=

AF

AB

=

1

2

，∴∠ABF=30°．
∴直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．                         …（9分）
（Ⅲ）解：設EF中點為G，以O為坐標原點，OA、OG、AD方向分別為x軸、y軸、z軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．
設AD=t（t＞0），則點D的坐標為（1，0，t），則 C（-1，0，t），A(1，0，0)，B(-1，0，0)，F(

1

2

，

3

2

，0)
∴

CD

=(2，0，0)，

FD

=(

1

2

，-

3

2

，t)…（10分）
設平面DCF的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

n1

•

CD

=0，

n1

•

FD

=0，即

2x=0 - 3 2 y+tz=0.

令z=

3

，解得x=0，y=2t，∴

n1

=(0， 2t， 

3

)…（12分）
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一個法向量為

n2

=

AF

=(-

1

2

， 

3

2

， 0)，
依題意

n1

與

n2

的夾角為60°，∴cos60°=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

，即

1

2

=

3 t

4t2+3 •1

，解得t=

6

4

因此，當AD的長為

6

4

時，平面與DFC平面FCB所成的銳二面角的大小為60°．…（14分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，求出平面的法向量是關鍵．