Question

設圓上點A（2，3）關于直線l₁：x+2y=0的對稱點B仍在圓上，且該圓的圓心在直線l₂：4x+5y=9上，
（1）求B點的坐標；   
（2）求圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設B點坐標為（x，y），由圓上點A（2，3）關于直線l₁：x+2y=0的對稱點B仍在圓上，知

y-3 x-2 =2 x+2 2 +2× y+3 2 =0

，由此能求出B點的坐標．
（2）由圓上點A（2，3）關于直線l₁：x+2y=0的對稱點B仍在圓上，且該圓的圓心在直線l₂：4x+5y=9上，知圓心同時在直線l₁和l₂上，由此能求出圓心坐標和圓半徑，從而能夠求出圓的方程．

解答：解：（1）設B點坐標為（x，y），
∵圓上點A（2，3）關于直線l₁：x+2y=0的對稱點B仍在圓上，
∴

y-3 x-2 =2 x+2 2 +2× y+3 2 =0

，
解得x=-

6

5

，y=-

17

5

．
∴B點的坐標為B（-

6

5

，-

17

5

）．
（2）∵圓上點A（2，3）關于直線l₁：x+2y=0的對稱點B仍在圓上，
且該圓的圓心在直線l₂：4x+5y=9上，
∴圓心同時在直線l₁和l₂上，
解方程組

4x+5y=9 x+2y=0

，得x=6，y=-3，
∴圓心坐標為M（6，-3），
∴圓半徑r=|AM|=

(6-2)2+(-3-3)2

=

52

，
∴圓的方程：（x-6）²+（y+3）²=52．

點評：本題考查點關于直線的對稱點的求法，考查直線方程的求法，解題的關建是合理利用中點坐標公式和求圓心坐標．