Question

已知直線過點且與拋物線交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設是直線上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數列.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)設直線方程為，代入得

設 ，，則有,而 ,

故

即，得，所以拋物線方程為;

(2)由是直線上任意一點，可設 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==，

+=+=

= = == =，有等差中項的性質可知直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數列.

試題解析：(1)設直線方程為，代入得

設 ，，則有 2分

而 ,

故

即，得，所以拋物線方程為 6分

說明：取過M 點的特殊位置的直線求得拋物線的方程給滿分.

(2)設 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==， 9分

+=+=

=

= == = 12分

所以直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數列. 13分

考點：1.拋物線的方程；2.直線與拋物線的位置關系.