Question

21.已知函數(shù)f(x)=x²+x-1,α、β是方程f(x)=0的兩個(gè)根（α＞β）是f(x)的導(dǎo)數(shù).設(shè)a₁＝1，a_n+1=a_n-(n=1,2,…).

(1)求α、β的值；

(2)證明：任意的正整數(shù)n，都有a_n＞;

(3)記b_n=(n=1,2,…),求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

解： (1)解方程x²+x-1=0得x=    

由＞β知=,β=

(2) f' (x)=2x+1

=-=

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明該結(jié)論成立

①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1＞=成立，

②假設(shè)n=k(k≥1, k∈N*)時(shí)，結(jié)論也成立，即a_k＞成立，

③那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

==-+＞-+=+=

                                                                                     

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，故對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有a_n＞

(3) ===

=()²

由題意知a_n＞,那么有a_n＞β，于是對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得

ln=ln()²=2 ln

即數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為b₁= ln()=2ln()，公比為2的等比數(shù)列。

故其前n項(xiàng)和

S_n=2ln() =2ln()(2ⁿ -1).