Question

四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，，AB=AC．
（I）取CD的中點為F，AE的中點為G，證明：FG∥面ABC；
（II）證明：AD⊥CE．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AB中點H，連接GH，CH，根據G是AE中點，根據中位線的性質可知HG∥=BE，利用矩形BCDE可知BE∥=CD，同時F是CD中點，
進而可以推斷出HG∥=CF，四個邊兩兩平行，進而可推斷出四邊形FGHC是平行四邊形，進而可知FG∥CH，最后利用線面平行定理推斷出FG∥面ABC；
（II）取BC中點Q，連接AQ，DQ根據AC=AB，判斷出AQ⊥BC，進而根據線面垂直的判定定理推斷出AQ⊥平面BCDE，進而可知CE⊥AQ，根據，，求得BE和CQ，得出判斷出Rt△CDQ∽Rt△BCE，進而可推斷出∠DQC=∠CEB，可知∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，推斷出CE⊥BQ利用AQ∩BQ=Q，推斷出CE⊥平面ADQ，進而根據線面垂直的性質可知AD⊥CE．
解答：（I）證明：取AB中點H，連接GH，CH
因為G是AE中點，所以HG∥=BE，又因為矩形BCDE，所以BE∥=CD，且F是CD中點，
所以HG∥=CF，所以四邊形FGHC是平行四邊形，所以FG∥CH，
又因為FG?平面ABC，CH?平面ABC，所以FG∥面ABC；
（II）取BC中點Q，連接AQ，DQ
因為AC=AB，所以AQ⊥BC，
因為側面ABC⊥底面BCDE，AQ?平面ABC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
所以AQ⊥平面BCDE，
因為CE?平面BCD，所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中，，BE=，CQ=1，所以
所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB，
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，所以CE⊥DQ
因為AQ∩BQ=Q，所以CE⊥平面ADQ，
AD?平面ADQ，所以AD⊥CE
點評：本題主要考查了直線與平面的平行和垂直的判定，解題的關鍵是靈活運用線面平行和線面垂直判定定理．