Question

設三棱錐V-ABC的三個側面與底面所成的二面角都是β，它的高是h，求這個所棱錐底面的內切圓半徑．

Answer 1

【答案】分析：先作輔助線，三棱錐的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，從而作出側面與底面所成角的平面角，然后，由余弦函數求得斜高在底面的射影，即底面三角形的內切圓的半徑．要注意論證．
解答：解：自三棱錐的頂點V向底面作垂線，垂足為O，
再過O分別作AB，BC，CA的垂線，
垂足分別是E，F，G連接VE，VF，VG
根據三垂線定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC
因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分別為側面與底面所成二面角的平面角，
由已知條件得
∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，
在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，
所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，
∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO
由此得到OE=OF同理可證OE=OG，因此OE=OF=OG
又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，
所以點O是△ABC的內切圓的圓心
在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，
因此OE=hcotβ．即這個三棱錐底面的內切圓半徑為hcotβ．
點評：本題主要考查三棱錐的結構特征，主要涉及了幾何體的高，斜高及在底面上的射影，側面與底面所成角等問題，考查全面，屬中檔題．