Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）設(shè)b_n=1og₂（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，可得{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而利用b_n=1og₂（a_n-1），可得數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n
（Ⅱ）先放縮，再利用裂項(xiàng)法，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（Ⅱ）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．