Question

在△ABC中，頂點A(－1，0)，B(1，0)，動點D，E滿足：①；②，③共線．

(Ⅰ)求△ABC頂點C的軌跡方程；

(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓，只要該圓的切線與頂點C的軌跡有兩個不同交點M，N，就一定有，若存在，求該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設C(x，y)，由得，動點的坐標為； 　　由得，動點E在y軸上，再結合與共線， 　　得，動點E的坐標為　　2分 　　由的，， 　　整理得，． 　　因為的三個頂點不共線，所以， 　　故頂點C的軌跡方程為　　5分 　　(Ⅱ)假設存在這樣的圓，其方程為， 　　當直線MN的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓的方程， 　　得， 　　設M，N， 　　則， 　　所以(*)　　7分 　　由，得0， 　　即， 　　將式子(*)代入上式，得　　9分 　　又直線MN：與圓相切知：． 　　所以，即存在圓滿足題意； 　　當直線MN的斜率不存在時，可得，滿足． 　　綜上所述：存在圓滿足題意　　12分